Dale 的花园 ^_^

金山岭西线: 将军楼台观日出

Sun, 31 May 2026 16:00:00 GMT

从司马台下来后, 总算是睡了个漂亮觉. 可怜的纡枝老师大清早就一个人回北京了, 我们则睡得很晚才起床. 吃完午饭后我们几人一块玩大富翁, 这个游戏的英文名叫 Capitalism, 我破产又卖完所有家当都还不清完资本家的过路费… 下午九岁老师和星沉老师也坐火车回北京了, 我们男生就多住一晚, 既然精神已经恢复好了，那明天早起去探索金山岭西线吧 !

这次岂墨君只想睡觉, 我就和 3238 菌复刻了一遍前天的上山路径. 路上我俩还起了分歧, 因为出村子之后要经过一扇木门, 前天门没锁, 我们径直走过了; 这次门上锁了, 虽然能绕过去, 但 3238 菌声称是有人在监控里看到我们前天上山才锁门的. 我反驳不可能凌晨三四点有人盯监控, 景区监控只会在发生意外时才会调取况且这里又不在景区范围. 但他又声称这一整条路上监控摄像头多的离谱, 一定是有自动化感应功能, 也许此行已经在被人盯着了… 我则坚决反对, 不可能存在如此闲着没事干的保安.

就这样我俩争锋相对了一路… 不知不觉黑黝黝的城墙出现在天边，笔直锐利的线条像游戏里的建模，我们又来到城墙脚下了，和前天几乎是同一时刻来到这里. 开干, 上城墙 !

3238 菌觉得前天最快乐的并不是看了多少城墙和风景, 而是叠人梯翻墙, 这种想法也够离谱的. 不过有了前天两次爬墙的经验, 这回确实轻车熟路了, 很轻松就翻越到城台上了, 我们计划往西边走一小段到将军楼, 看完日出就原路返回, 整个行程都非常轻松, 远没有前天的戏剧跌宕.

临近西域楼, 看到上面已经站了俩人, 我们摇手 Say Hello, 上楼后发现他们还是老外, 问从哪儿来，我们说自己是 climb over the wall from the forests 的…

站墙上, 往东方望去, 黑姑楼到小金山楼的城墙高低错落, 非常壮观, 长城还未苏醒, 日出仍要等一段时间.

继续爬升, 陆续又遇到了数十人，一大半都是老外. 大家基本集中在将军楼上，这里是金山岭区域的军事指挥中枢，城楼顶上有一座戚继光庙，临近还有一座砖房指挥所.

站在将军楼上，可远观东线连绵起伏的长城巨龙，这里是金山岭最经典的摄影位，看着我们前天走过的路，城墙一直延伸到山后的鸳鸯湖水库，又沿着司马台的山脊拔升到天边的单边墙望京楼. 金山岭以西，长城穿过五里坨到蟠龙山，一路蜿蜒到古北口镇上，又从潮河边起势爬上卧虎山到西沟林场，这一片群山，可谓是密云长城精华段.

太阳从东方的远山上冒出头，红光万丈似火山喷发。

将军楼和砖垛楼之间有一段岔出去的城墙，往下可以走到四方台，四周都是高山环抱，还可以远望到长城烽燧，我和 3238 菌在此待了很长时间，在城台上绕圈散步，也在激烈辩论，关于大事小事、关于毕业后的未来…

天色越来越亮，今日的行程也要结束了. 回到沙岭口东方台上，路上一个人都没有，如此我们就能安心跳墙了. 今天的翻墙和跳墙比前天轻松太多了，我们还特地拍视频留念.

沙岭口小径的红土小路非常适合越野跑，我们很快就下到了公路上, 我感觉刚刚经历了一整个上午但时间才七点半, 田间已经有村民在劳作了. 八点多回到住处. 不燥不热，收拾好东西就做了最后的告别, 我们要离开司马台村了.

中午火车到了海淀, 纡枝老师带我们参观了北林的校园, 这里树木繁盛, 阳光正好, 有很多适合休息发呆的地方，建筑也很好看. 我们还去看了毕业作品展, 感觉大家都是很有趣的人, 在做很有趣的事!

end

金山岭东线: 从沙岭口到横沟楼

Fri, 22 May 2026 16:00:00 GMT

非常规上山

2025 年 5 月 17 日半夜, 我看地图入神, 想着明日天晴, 何不上金山岭看日出. 金山岭景区属于承德, 游客中心和上山路径都在长城以北, 而我们住在长城南麓的司马台村. Google Earth 上有一条清晰的小山路能连接长城和村里的公路, 这引起了我的好奇心, 于是我就怂恿岂墨君和 3238 菌起早一块去探探这段路, 大概走五公里就能到长城边上, 就当是散步了. 哥仨一拍即合. 我们找九岁老师借了根手电筒, 准备睡觉. 此时是半夜一点钟.

凌晨三点半起床，天气冷冽, 天空中北斗星高悬, 我叫醒岂墨君和 3238 菌. 出门离开村庄到公路上, 两侧是高大的树木, 深蓝的天穹悬浮在树林之上. 我们开着灯光喘着气, 开一些壮胆子的玩笑, 快步走着以让身体暖和. 三公里后到公路尽头, 凭着卫星地图找到了小路, 开始极速上山!

穿过一段树林后, 我们爬升到山脊上, 视野开阔. 见天空由深蓝变浅, 空中悬着青灰色的云朵, 回头圆月高照, 还能望到刚刚经过的几座小丘陵.

这时不需要导航了, 长城就在眼前, 城墙的轮廓就是天际线, 逆光的深黑线条铺满了山脊, 曲线、女墙、垛口、楼台, 一种肃穆神秘的感觉, 这是金山岭长城的初见面.

在俯身穿过一片荆棘丛后, 大约四点半我来到了城墙脚下, 尴尬的是, 面前的墙体高约三米二, 只在一米二的高度有十厘米的厚度凸出, 似乎没有任何方法能翻越上去… 我沿着荆棘小路回去, 和岂墨君、3238菌四处寻找其他可能的路径, Google Earth 也看了半天, 无果.

四点五十许，我们三人都来到刚刚的城楼下，旁边有一扇木门紧锁打不开, 绝望之际我们听见城楼上似乎有人说话, 于是我们大呼有没有好心人来开开门, 游客还真发现我们了, 可能他们也纳闷我们仨为啥出现在城墙下面, 但小门已经上锁内侧也无法打开. 这回没辙了, 我已经有了放弃并回撤的想法，但一回头却见东方天空破晓，火烧连云, 蔚为壮观.

拍了一顿照片后, 大家心里还是有点不甘，此时 3238 菌却创新性地提出了组人梯 + 助推引体向上的翻墙方法，于是我让 3238 菌和岂墨君先后踩在我肩膀上, 尝试翻墙上城楼, 这俩人在健身房也没白练, 墙上还有一位游客帮助, 他俩竟真的奇迹般地翻上了高墙。我们三上一下, 面面相觑笑得合不拢嘴.

现在的问题就是我咋上了, 我先是在四周寻找各种道具, 有广告牌、一米长的小铁架、几块碎砖. 都不太好用, 最后找了一棵新鲜的树枝, 我的小命就靠这跟小树枝和上面的同伴了. 两手紧紧握着树干, 双脚蹬墙往上, 上面的人使劲拉, 我先挪到了凸出的小墙边, 这里离城台还有两米. 他们抓住我的双手使劲往上拉, 但确实没经验, 我被拉到前胸贴墙边的位置时, 疼的要命, 脚底下还是悬空的, 几秒后我脑子反应过来了这发力不对, 赶紧让调整角度, 他俩站到墙檐上垂直着发力拉我, 又磨了几秒, 腰部贴上墙边的一刻, 我笑出声了, 别拉了, 让我趴一下, 慢慢往前挖了几步, 终于挪上来了! wocao! 我们成功了！太牛逼了！我大口喘着气，简直像海盗发现了宝藏山洞. 身上擦了好几块皮, 鞋子也糟的不成样子. 但是在这五点钟的金山岭长城上, 环顾四周, 我们大笑不止, 没心没肺. 我太兴奋了, 录了几段视频记录这幽默而伟大的时刻. 这座伟大的城台叫沙岭口西方台.

沙岭口 - 大金山楼

城台之上，空气冷冽，风光无限. 我们先登上了黑姑楼, 看到远处东方山脊上, 有强烈的金色大光晕闪烁, 城墙和树林上流转一层辉煌的饱和光芒, 空中的云朵染上几重色彩, 光影慢慢流动, 一切都在鲜活起来. 另一边, 西线山脊的城墙刚好被第一缕阳光照射, 阴阳昏晓之间, 像一段史诗. 我觉得给这段长城取名金山岭的人是天才.

我们在城楼上欢呼庆祝, 或许我们运气太好, 就在这么略显荒诞的行程中, 居然见识了如此美丽风光.

看完日出后, 继续往东边走, 一路上见到了十几个游客, 挑了几个好看的角度拍拍拍. 这时气温实在太低, 我又只穿了短裤, 就在大金山楼里面歇了会儿避避风.

这里我们遇到了一对自驾游的夫妇, 刚从西北回来, 投机就聊了一会儿, 大哥大姐觉得我们年轻有活力, 可我当然也羡慕他们能无拘无束到处玩. 告别后再往东边走, 我们就再也没见到其他人了. 正常游客一般都是清早从长城北侧的游客中心进来后, 在大金山楼和将军楼之间逛逛, 但我们无论是来时的路径还是登城的方式, 怎么看都不正常, 我只是凭在 Google Earth 上看到的地图, 心里预设了一个不需要思考的路径 — 往东走到头, 沿长城下到到古北水镇. 恰好岂墨君和3238菌也没做规划, 我就劝他们一块莽着走了（后续的事实证明，这有点过于莽撞...

于是我们的计划就临时从探路变成了 10km 徒步，这时我们都处于晚上只睡了俩钟头 + 刚刚还运动了俩小时 + 早餐没吃 + 食物和水几乎没有的状态下，精神抖擞是因为刚刚肾上腺素分泌太多了还在作用中. 但天无绝人之路, 城楼内发现一个商贩摆的摊子 — 人还没来, 东西就摆在这里, 拿了几瓶必要的饮料, 扫码后就继续前进, 这坚定了我一路走到头的想法, 开冲!

出了大金山楼后, 乌云逐渐铺满天空, 云层间隙有金边闪烁, 我们仨承包了这处秘境, 风吹得有点冷, 但还是难以置信如此有趣的经历, 在这片空荡的山野间, 一切景物都如此明亮而动人, 这是我人生中最难忘的早晨之一.

窑沟楼 - 东五眼楼

六点整到窑沟楼, 这里的空间很大, 城墙风化残破的很厉害, 我们坐在砖墙上歇息了一会儿. 其实这边的长城也经历过一些修复, 但并没有直接换成崭新模样, 我喜欢这种尽可能保持原样的修复理念, 长城本身就是在和时间琢磨, 如果一切都被人为焕新, 那就看不到时间的沧桑和现存砖块的历史价值了. 从这之后的砖墙和敌楼, 基本都是大部分完整 + 局部破损的状态.

爬到高尖楼上, 视角非常开阔, 看到前方的长城从后川楼开始连续上升到山顶的拐角楼, 再抹了个直角弯往东南方向行进. 东方的天空上, 阳光穿透云层间隙, 天眼之下有达利园效应. 3238菌第一个到后川楼, 他发现了一块六十年前的 ‘万里长城’ 文保碑.

后川楼-沙子楼-花楼-拐角楼的五百米, 是金山岭最陡峭的爬升段, 我们慢慢的走, 这边的城墙两周女墙坍塌严重, 从下面看起来像悬空的公路一样通往天境, 这让恐高的 3238 菌大为破防, 爬升不怕, 没有保护却很怕, 我鼓励他这只是心理左右, 但他说这种心理已经影响到了肢体发晕, 我就没敢再说话了.

六点三十五, 终于上了山顶的拐角楼, 从这里望到东方天空上有一扇巨大的天窗, 云彩镶金, 光芒垂直洒落, 壮观! 从这下了个陡坡到冰道沟楼, 此楼二层的墙体全坍塌了, 只剩下一个角, 两边的女墙很矮, 到前面小山顶的车道沟楼又是一段大爬升, 我们有点破防了, 这坡真就爬不完吗 ( 后来看这其实是倒数第二个坡了 )

依次过车道沟楼和四眼楼, 七点整进入东五眼楼

东五眼楼是能下到金山岭景区游客中心的最后一个地方, 但城楼内贴了告示, 此门开放时间为九点到五点. 3238 菌建议我们就等两个钟头, 开门了就下景区, 但我觉得要等太久不如继续走, 而且就算走景区道下山了也是去长城北侧的承德, 回古北水镇得绕好大一圈山; 他又说可以原路返回, 我怂恿说原路回反而更累, 不如继续走到头 ( emmm, 我承认当时只是瞟了眼地图的距离, 没考虑到意外因素 ). 我决定自己一人先去走会儿, 不管能不能通都会再回来.

出东五眼楼, 看到一处告示 “长城原始风貌保护段”, 有点意思, 金山岭作为景区但格局还挺大的. 其实这段野长城片段并不难走, 只是路面多了些碎石渣和小灌木, 往前探了两百来米, 我就折返回东五眼楼, 忽悠岂墨君和 3238 菌前方路径稍野但问题不大, 别等了, 跟我冲吧 ! 于是三人一齐上路, 这也意味着我们后面的路不可能有正规下山通道了.

文字砖墙

下一个地标是麒麟楼, 以其楼顶的麒麟影壁而闻名, 这是长城上独一无二的, 只是当时的我们并未注意到这一点 ( 其实拍摄麒麟影壁也只能借助无人机, 楼内要架梯子才能到上层 ). 东五眼楼和麒麟楼之间, 有一条往右边岔出的小土路, 3238 菌认为可以从此路下山, 但所有地图上都没见过此处存在下山道, 就往前探路麒麟楼, 发现其连接东边壶顶楼方向的城墙坍塌, 无法步行通过. 拍了个视频记录后, 遂往回退, 走刚刚的土路了, 结果发现它确实不是下山路, 只是绕过了麒麟楼.

不久, 绕到了麒麟楼和壶顶楼中间的位置, 一阵下坡后, 又来一段极陡的爬升. 我在最前面, 休息时发现天气放晴了, 太阳底下总算有点暖和了, 这时定睛一看, 城墙上居然有很多矩形线框和字迹, 这不是现代游客的到此一游, 而是明王朝的工匠们的工程留痕, 是五百年前篆刻的古文字, 后来我才知道, 此段就是著名的 “金山岭文字砖墙”. 两个同伴爬上来后, 我赶快分享这神奇的发现, 部分砖块上依稀可辨'萬曆'字样, 但很多字在风雨剥蚀后难准确读出了. 在此阳光洒照, 空气清爽, 我们在享受此程唯一能称之为享受的片段.

壶顶楼的东面门倒塌严重, 形成断崖, 无法直行通过, 但其西面门的左侧也有一条小路能绕过, 还真有意思, 以前的驴友们还真能克服环境清理出各种小道. 回望壶顶楼, 像像西游记里孙悟空躲避二郎神变得小庙表情. 从此开始, 长城就沿着山脊一路直下到鸳鸯湖水库, 与古北水镇和司马台东段连接.

横沟楼木门

壶顶楼东边是碾子沟楼和横沟楼，我们逐渐走近，对面的司马台长城山脊越来越清晰.

我们远处望见横沟楼上居然有一扇木门, 心里有一丝不好的预感. 八点零五分, 三人走到这扇门前, 发现已结实上锁, 无论如何都打不开, 踱步良久, 面面相觑, 破防了! 从横沟楼往东走一千四五百米长城就美能滋滋下山了, 我们一路上克服了体力和环境上的困难, 眼看快结束了居然碰到这种 BUG 玩意儿阻拦! 这时我才明白为什么北京这么多徒步商团从来没发过金山岭东线到司马台的活动…

我们不得不冷静下来, 如果此时往回走到东五眼楼, 差不多九点钟到它刚好开门, 但我并不想走回头路, 一方面我在两步路上看到有人成功穿越了横沟楼, 加上刚刚过麒麟楼和壶顶楼侧边都有小路, 所以横沟楼很可能也存在侧路. 于是我又自顾自往前探路, 我不相信天有绝人之路…

从横沟楼左侧翻下城墙, 沿着墙根一直往前走, 摸索了几分钟后, 发现小路的尽头就是纯纯的断崖, 我望着下面捏了一把汗, 往回走了几步, 却切实发现了从这里翻回城墙上的可能性: 1.这段长城上存在 ‘狗洞’, 看大小容纳一个成年人穿过; 2.某个约两米八高的最低狗洞旁边, 存在多处缺失的砖块, 这些空出来的砖块位置, 是非常合适的下脚点; 3.还是这个狗洞旁边, 有一棵小数被折断的树杈, 折断处看上去还算新鲜, 估计不超过一个月, 可能是几天前被折的, 折断处刚好能放下一只脚. 于是可以判断了: 两步路上的前人穿越横沟楼一定是从这里翻墙的. 所以我拍了视频后, 走回去找岂墨君和 3238 菌, 说服了他们来和我一起钻狗洞, 我向他们保证这是今天的探索之旅中最后一个难关, 只要过了这道卡, 前方一定能正常下山 ( 我也不知道这一整天哪儿来的迷之自信 ).

清早从来时的小径翻上西方台城墙时, 我们仨的手臂都发力过猛, 酸涩不止, 而这里狗洞又十分狭小, 发力很困难. 好就好在此处不算太高, 三人继续叠人梯, 3238 菌又是第一个被推上去, 我第二个, 这里我们想起了岂墨君背包里的登山杖 ( 2024 年夏我拉岂墨君上东灵山他买了根杖, 后来我借去爬小五台, 弄的战损了, 就给岂墨君还了根新的, 没想到第一次派上用场居然在金山岭 ). 我踩在岂墨君肩膀上, 3238 菌用杖将我拉上狗洞, 但岂墨君由于在底下无人支撑无下脚点, 一直上不来, 我遂又跳下狗洞, 帮他顶上了城墙, 最后自己踩着树杈和砖块空隙又艰难上楼了. 这时的时间是八点半.

非常规下山

第二次成功翻墙, 没有兴奋, 只有疲惫和无助. 前方还会有木门吗 ? 还会有小路吗 ? 真的能下山吗 ? 各种疑虑交织在脑中, 一看身上又全是擦伤. 我现在只觉得自己想出来的主意, 咬牙也得走下去, 还是岂墨君和 3238 菌留下来, 我往前探路, 必须找到那条 100% 能下山的路, 那条两步路上看到的小路!

横沟楼下面的敌楼不知道名字, 但用手机长焦查看, 没有木门, 太好了. 我快步往前走, 这里下坡有点陡. 穿过无名城楼后, 我发现了长城右侧下山的红土碎石小路, 它在视觉上是如此的清晰, 就是两步路和 Google Earth 上的那条路! 我们有救了!

速速回到横沟楼下, 这一阵上坡我走的极快, 像是菲迪皮德斯给雅典人报告胜利的消息一样激动. 收拾好东西, 往前进发! 九点整, 我们在长城上留下最后一张合影, 转身下山了.

后来我才知道, 对于这一带的长城, 承德金山岭景区与北京司马台景区 battle 了十余年. 北京方面认为后川楼以东长城都该归司马台景区管; 承德方面直接不承认司马台政权, 将金山岭的东侧边境划到了司马台单边墙上的望京楼, 这自然是水火不容的. 双方曾在壶顶楼和东五眼楼一带激烈交锋, 这部分长城也一直没有修缮. 十多年前古北水镇建成后, 北京方面退避三舍, 双方以横沟楼为临时停火线, 在此修建木门作为临时工事. 从横沟楼到鸳鸯湖水库的长城名义上称司马台西段, 实际并未开放给游客, 这里是金山岭、司马台和水镇的三不管地带.

穿越树林来到山下, 这里有几座老旧的厂房和一条公路, 我们打电话给民宿大叔, 请他来带我们回村. 我在电话里说这地名叫下窝铺, 有一段公路, 公路越过北山… 但似乎大叔无法确定我们具体的位置. 不一会儿远处却走来了一个三四十岁的大哥, 问我们为何出现在此处, 他好像是这边的电网工作人员, 与景区没有关系, 但提醒我们此处三个景区交界, 往前走可能会被拦住, 到时只能原路返回, 这着实吓着了我们. 我们仨在这里待了四五十分钟, 不知前方道路能不能走. 犹豫之际, 大叔打了电话过来, 他已经开车到最近的山口, 让我们立即沿着公路往上, 有救了.

走到山口, 发现这边早已不通车, 古镇景区想把公路开发成卡丁车滑道, 有一些工人在作业，五颜六色的小车铺了半边道路. 大叔领着我们仨绕过路旁的铁网钻到一片树林子里, 我们就在茂密的树林中辗转穿梭了十几分钟才切到了另一段公路上，中间都差点跟丢了. 大叔说这一片树林十几年前曾是一条完整的公路, 修好了但没有和林业局报备, 后来就被强制回填铺土种树, 导致别墅区和水镇之间无法直接通行. 至于下窝铺这个地名, 他也从未听说过，毕竟这一带早已荒废, 大叔只是从我们的行程描述中猜到了大致位置, 就把车开到了最近的路边, 穿越树林找我们. 他还好奇我们怎么绕过横沟楼木门, 笑我们真是运气好.

回到民宿里都十一点了, 我们跟同伴描述这一上午离谱的经历, 实在是狼狈又戏剧, 下午她们准备逛水镇和夜游司马台长城, 我们仨吃完饭恢复力气后, 决定把今天的时间充实到底, 下午继续玩 ~

无穷集合

Thu, 22 Jan 2026 16:00:00 GMT

一一对应

比较有限集合的大小很简单, 数一数就行. 但无穷集合怎么数？康托尔的想法是：

两个集合“一样大”（等势）, 当且仅当它们的元素之间能建立一一对应

这意味着：

集合 A 的每个元素都对应集合 B 的唯一元素

集合 B 的每个元素都恰好对应集合 A 的一个元素

无穷集合有个神奇性质：整体和部分可以一样大, 比如:

自然数集 N = {0, 1, 2, 3, 4, … }

偶数集 E = {0, 2, 4, 6, 8, … }

平方数集 Q = {0, 1, 4, 9, 16, … }

整数集 Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… }

从康托尔的”一一对应”角度看, 上面四个集合都是一样大的

自然数集与偶数集一样大, 因为其可以建立一一对应的双射：

自然数集与平方数集一样大, 因为有

自然数集与整数集一样大, 因为能找到双射：

这表明：无穷集合可以与自己的子集一样大

可数集与不可数集

如果一个无穷集合能与自然数集建立一一对应, 那么称此类集合为可数无穷集

显然, 整数集、平方数集、偶数集都是可数无穷集, 下面我们证明有理数集 Q 也是可数无穷集:

有理数可以写成 p/q 的形式, 其中 p 和 q 为整数, 且 q ≠ 0. 为了方便安排顺序, 我们先只考虑分子分母都是正整数的分数. 尝试给所有正有理数排一个队: 按照分子和分母的和从小到大来分组. 比如, 分子分母和为 2 的只有 1/1；和为 3 的有 1/2 和 2/1；和为 4 的有 1/3、2/2、3/1；和为 5 的有 1/4、2/3、3/2、4/1 … 依此类推. 在每一组内部, 我们按分子从小到大排列. 这样, 我们就得到了一个长长的列表：1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, … 这个列表包含了所有形如 p/q 的正分数, 但其中有些是重复的, 比如 1/1 和 2/2 实际上是同一个有理数. 为了避免重复, 我们在读这个列表的时候, 跳过那些已经出现过的分数. 具体来说, 只保留分子和分母互质（即不能再约分）的分数. 这样, 每一个正的有理数都会在某个时刻出现, 且只出现一次. 前面是按“分子加分母”的和逐步推进的, 任何一个最简分数 a/b 都会在第 a+b 步或之前被考虑到, 因此它一定会出现在这个去重后的序列中的某个有限位置上. 这就说明, 所有的正有理数可以排成一列, 每个都在有限步内出现. 所以说, 正有理数集合是可以被编号的. 接下来, 我们把零和负的有理数也加进来. 零只有一个, 直接放在最前面. 而每一个负的有理数, 都对应一个正的有理数（比如 -3/5 对应 3/5）, 所以负有理数也可以按照正有理数的顺序一一列出. 我们可以这样排队：0, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/1, -2/1, 1/3, -1/3, 3/1, -3/1, 2/3, -2/3, 3/2, -3/2, 1/4, -1/4, 4/1, -4/1 … 显然, 任意一个有理数都会在队伍中占据一个确定的、有限的位置. 因此, 整个有理数集合 Q 可以被自然数编号：第 1 个、第 2 个、第 3 个… 每个元素都能被数到.

证明某个无穷集合是可数集, 其实不需要写出它与自然数集的双射公式, 只需要证明存在一种排队秩序, 能将集合内所有元素排成一个序列, 每一个元素都恰好出现在某一个被安排的位置上. 简单地说：一个无穷集合里的元素只要能找到排队规律, 就是可数的. 可数性的本质就是能被自然数编号.

有些无穷集无法与自然数集建立一一对应, 这些称为不可数集, 康托尔用对角线法证明了(0, 1)间的实数集无法与自然数集一一对应.

此外, 所有自然数的子集的集合也是一个不可数集.

康托尔证明了并非所有无穷集合都一样大, 实际上, 可数集是最小的无穷, 康托尔定义其基数为 (阿列夫零), 而实数集、复数集、的基数都是

希尔伯特旅馆

大卫·希尔伯特设计了一个思想实验：有无穷多房间的旅馆, 房间编号：1, 2, 3, 4… 所有房间都住满了, 假如有新客人来了怎么办

问题 1：来了一个新客人

解法：让 i 号房间的客人搬到 i+1 号（1→2, 2→3, 3→4…）, 空出的 1 号房给新客人住

问题 2：来了可数无穷多新客人, 新客人编号：g1, g2, g3…

解法：让原来 i 号房间的客人搬到 2i 号房, 新客人住进奇数号房（gk 住 2k+1 号房）

问题 3：来了无穷无穷多辆大巴, 每辆大巴里都有可数无穷多的客人

解法：用素数！

原客人：让原 i 号房间的客人搬到号房间
新客人：巴士 j 的乘客 k 住号房间, 其中 pj 是第 j + 1 个素数 ( 避开 2, 因为 2 是原客人的 )

第 1 辆巴士（素数 3）乘客：住号房
第 2 辆巴士（素数 5）乘客：住号房
第 3 辆巴士（素数 7）乘客：住号房
…

这表明：可数无穷个可数无穷集的并集, 仍然是可数无穷

语言时钟

Sun, 28 Dec 2025 00:00:00 GMT

我们可以将语言简单划分为屈折语、分析语和黏着语. 各种语言并无优劣之分，也并非一成不变, 实际上，它们正在以一种循环规律演化:

屈折语会分析化

分析语会黏着化

黏着语会屈折化

语言的发展像一个时钟, 在时间的大轮盘里不断转圈 ~

屈折语

大多数欧洲语言都是屈折语. 它的特点是名词、代词、动词会在不同语境下发生各种变化. 比如名词和代词有性的阴阳之分、格的主宾之分、单数复数之分. 动词在不同时态下会有过去式、过去分词、现在分词等变体, 其在被动语态与主动语态里的形式也不一样, 而且主语的人称、阴阳、单复也都能让动词变形 … 以罗曼语族的法语为例:

名词有阴性阳性: 公猫 chat / 母猫 chatte

冠词要看名词的性: le chat / la chatte

代词有多种格: “我” 有主格 je、宾格 me、离格 moi

名词复数要加 s : 一本书 un livre / 一些书 des livres

动词在不同语境中会发生各种变化：

我吃： Je mange.

我们吃： Nous mangeons.

你/你们吃： Tu manges. 或 Vous mangez.

她吃： Elle mange.

我吃了：J'ai mangé.

我将要吃：Je mangerai.

苹果被我吃了：La pomme est mangée par moi.

屈折语的特点就是一个单词会变来变去！人称、性、格、单复数、时态等因素都可能导致单词变形. 屈折语通过把单词变形来表达含义, 顺序就显得不太重要, 即使将其单词顺序完全打乱, 也不会对读取句意造成太大干扰, 因为主语宾语可以通过单词本身来体现:

小明送我一些书

Xiaoming gives some books to me.

我小明送书一些（看不出来 ‘我’ 和 ‘小明’ 谁是主语）

me Xiaoming to gives books some. （看得出来 ‘我’ 是宾语, ‘小明’ 是主语）

屈折语的优点是词汇精简、表达准确. 但相应的, 其词汇变化极其复杂, 学习难度高… 早期的欧陆语言普遍具有极强的屈折风格, 现代冰岛语和斯拉夫语族是这种高度屈折语的活化石. 而现代的西班牙语、法语、意大利语相较于古拉丁语已经有了显著的屈折弱化趋势, 演化最激进的英语放弃了大量屈折特性, 具有很强的分析语风格: 现代英语不注重名词的性与格, 动词变化极其简单, 很多场景下会借助新单词来表达含义而非对旧单词变形 ( 比如英语有丰富的介词体系、情态动词和助动词 )

分析语

分析语又称孤立语. 其不注重单词本身的变化(现代汉语没有这个特征)，而是通过使用特定助词介词和文字顺序来表达含义.

古代汉语曾有过显著的屈折语特征 (读音具有动词词尾变化, 名词复数标记, 先秦古文的“我”可以做主语或宾语, “吾”不能做宾语), 后来彻底演变成了分析语即现代汉语.

分析语的词形不会因为主语、宾语、时态、数等发生变化

词的顺序十分重要, 如果将一句话的主语宾语对调, 句子含义就不同了

通过虚词来表达语法功能(进行时:正, 将来时:要, 过去时:了, 被动语态:被 …)

分析语主要集中于东亚地区: 汉语、越南语、泰语、状语等

英语是高度分析化的屈折语

现代分析语正在往黏着语方向演化

黏着语

黏着语通过形式清晰、功能单一的词缀来表达语法意义. 每个词缀通常表示一种语法功能（如性、格、时态、数、人称、语气等）, 并且可以像积木一样依次添加在词根上.

土耳其语、哈萨克语等突厥语是最典型的黏着语

乌拉尔语系的芬兰语、匈牙利语和爱沙尼亚语属于黏着语

日语、韩语属于混合型黏着语

在语言时钟里, 屈折语的分析化是最为普遍和迅速的, 分析语黏着化也在进行中, 但黏着语屈折话鲜有案例, 一般认为爱沙尼亚语正在进行这个演化, 而日语韩语等几乎没有屈折化的迹象. 还有人认为早期的屈折语即原始印欧语其实是由更早期的黏着语或复综语演化而来的, 但这个转变发生在文字记录出现之前的史前时代.

中文示例

下面案例来自这篇知乎回答：可以把汉语改成屈折语或黏着语吗?

现代中文（分析语）：

我吃饭（一般时）

我吃了饭（完成时）

我在吃饭（进行时）

我要吃饭（将来时）

我吃过饭（过去时）

屈折版中文：

我吃饭（一般时）

我嗤饭（完成时）

我哧饭（进行时）

我呎饭（将来时）

我喫饭（过去时）

黏着版中文：

我吃饭（一般时）

我吃饭鳏寡（完成时）

我吃饭绪货覅（进行时）

我吃饭波沈疟赐（将来时）

我吃饭莿嚄胆囊斷（过去时）

复综语

复综语又称多式综合语, 其特征在于一个单个的词可以包含非常多的语素（形态单位）, 从而表达出在其他语言中需要用一整个句子才能表达的意思.

复综语的一个单词往往由大量的词根、词缀、代词、介词性成分组成

北美、北极和西伯利亚的土著语言如爱斯基摩语属于复综语

复综语与黏着语和屈折语的界限并非绝对清晰

神明是否存在？

Sun, 07 Dec 2025 16:00:00 GMT

📎

神明是否存在呢？有神论者、无神论者、不可知论者、可知论者们给出了各自的观点…

有神论 Theism

立场：神是存在的. 这种存在并非物理意义上的存在, 而是超越性的、作为万物本源和终极意义的存在.

论据：

宇宙论论证：万物皆有起因, 宇宙的存在必有一个“第一因”或“必然存在”, 即神.
设计论（目的论）论证：宇宙和生命的精妙秩序与复杂性, 钟表必有工匠来制造, 比钟表复杂得多的世界理应有一位智慧的创造者.
道德论论证：人类普遍的道德感、是非观需要一个超越性的来源, 即神圣的立法者.
体验论论证：无数个体真实的宗教体验、神秘感应, 被视为神存在的直接证据.

内部多样性：

一神教, 如犹太教、基督教、伊斯兰教、琐罗亚斯德教
多神教, 如古希腊神话、印度教、神道教
自然神论: 认为神是 “第一因” 或 “伟大的钟表匠”, 神创造了宇宙, 但不干预宇宙的运行.
泛神论（如斯宾诺莎哲学）: 上帝是是万物的因, 万物是上帝必然的表现. 上帝与自然是同一的, 而不是传统有神论中超然于世界之外的人格神.

无神论 Atheism

立场：神不存在, 或没有理由去相信神的存在. 这是基于证据和逻辑的否定, 而不仅仅是“缺乏信仰”.

论据：

缺乏实证：没有任何可观测、可验证的证据能证明神的存在. extraordinary claims require extraordinary evidence（非同寻常的断言需要非同寻常的证据）.
逻辑矛盾：全能、全善的神与世间苦难（恶）的存在在逻辑上难以调和（即“恶的问题”）.
科学解释：宇宙起源（如大爆炸理论）、生命演化（进化论）等已提供了无需“神”假设的自然解释.
社会心理起源：神的概念可以被解释为人类对未知的恐惧、对秩序的渴望或社会控制的产物.

内部区分

积极无神论者主动断言 “神不存在”
消极无神论者没有断言神不存在，他们只是没有被说服去相信神存在. 他们对神存在的概率保持开放或中立，但认为目前没有足够的理由去接受它

不可知论 Agnostism

立场：我们无法知道神是否存在. 人类的认知能力有限, 无法认识超越性的对象.

内部区分：

温和不可知论：神的存在目前未知, 但未来或许可知. 持开放态度.
强硬不可知论：神的存在本质上就不可知. 仅凭人类的理性与经验根本无法触及此类问题.

对神的存在性保持诚实和谦卑, 拒绝在证据不足时做出肯定或否定. 这常被视为一种态度, 而非信仰立场.

可知论 Gnosticism

立场：强调神的存在是可以通过理性或某种认知方式（如启示、直觉）来认识的.

观点：反对不可知论, 认为人类的理性或某种超理性的能力, 能够部分地认识神. 许多有神论哲学家（如托马斯·阿奎那）是可知论者, 他们试图用逻辑证明神的存在. 一些神秘主义传统也认为, 通过内在的灵性修炼可以“认识”神.

密码破译方法简述

Tue, 18 Nov 2025 00:00:00 GMT

1948 年, 香农发表 A Mathematical Theory of Communication，现代信息论问世.

1949 年, 香农发表 Communication Theory of Secrecy Systems，现代密码学问世.

为了应对基于数学统计的密码分析，香农提出了密码设计的两条核心原则：

扩散：让明文的每一位影响密文的许多位

混淆：无法从明文-密文对中推断出密钥

1976 年, Diffie 和 Hellman 发布密钥协商算法

1977 年, Rivest, Shamir, Adleman 发布非对称加密算法

1977 年, DES 算法发布

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单表替换加密不安全

频率统计法

字母	E	T	A	O	I	N	…
出现频率	12.7%	9.1%	8.2%	7.5%	7.0%	6.7%	…

单词分析法

单字母单词 I、 a
两字母单词 to am it is of if on in at we go or as
三字母单词 the you and for not
特定后缀 ing ed tion ment
某些特别长的单词 communication understanding
q 后面一定是 u

无扩散和混淆, 会被已知明文攻击针对

单表替换 ≈ 明文

同音加密不安全

相较于单表替换, 能有效抵抗频率统计和单词分析

同音加密仍保留了字母间的连接关系

如果破译出部分字母映射, 安全性会急速崩塌

有一定的混淆、无扩散, 会被已知明文攻击针对

密钥空间狭窄, 被爆破风险大

明文字母	同音加密对应的符号
A	07, 12, 19, 25, 33
B	08, 15, 43
C	30, 11, 18, 26, 02
D	42, 13, 70, 28, 37
E	01, 92, 16, 24, 31, 39, 29, 36

多表替换加密是古典密码的巅峰, 但还是不安全

维吉尼亚密码在三百年间曾被认为是不可破译的

古典多表替换密码实现了混淆, 但未实现扩散

短密钥被周期性使用

卡西斯基试验和重合指数法终结了古典密码

卡西斯基试验:

破解者在密文中寻找长度为 3 个或 4 个字母的重复密文片段

只有当明文中的某个片段恰好被密钥中相同的片段加密时，密文才会重复

计算这些重复密文片段之间距离, 密钥长度 L 必定是这些距离的公约数

重合指数法:

重合指数的定义: 在给定的文本中，随机选取两个字母, 它们恰好相同的概率

英语明文的重合指数约为 0.067

单表替换密码 (如凯撒密码) 的重合指数也是 0.067

字母完全分布均匀的随机文本, 字母重合指数约为 0.038

弗吉尼亚密码的第 i 位、i+x 位、i+2x 位的字母都是被同一个凯撒密码表加密的

不断猜测 x 来计算重合指数, 直到算出 0.067, 那么 x 很可能就是密钥长度 L

通过卡西斯基试验或重合指数法得到密钥长度 L 后, 可对第 i 位、i+L 位、i+2L 位的字母进行频率统计, 最终攻破维吉尼亚密码

恩尼格码机不安全

恩尼格码机是机械密码时代的代表

用极长的周期来抵抗传统的密码分析法

扩散性极差, 情报开头格式固定, 被已知明文攻击针对

字母不能被加密成自身, 为爆破密钥提供了天然的判断条件

德军密码操作人员工作不严谨, 盟军却非常严谨

机器打败机器、算法回答算法

古典密码和机械密码面对数学分析法是脆弱的, 第二次世界大战后, 密码学算法从依靠隐蔽性转向依靠数学证明的安全性. 现代密码学对算法的要求：完全公开、强扩散强混淆、计算速度快、破解成本高(猜对密钥所需的计算资源超过世界上的能量总和)

分组密码可能安全

在数字环境中解决了对称密码周期性、设计约束和操作依赖的问题

实现了扩散和混淆

七十年代, DES 问世, 分组密码进入标准化时代

九十年代, DES 被证实计算上不安全, 差分密码分析和线性密码分析出现

2001 年, AES 问世, 目前仍被视为安全，并作为全球标准

非对称加密基于已有的数学难题, 在这些难题被解决之前仍然安全

RSA: 分解一个大整数为两个质数的乘积是十分困难的

Diffie-Hellman: , 即使知道 A、g、p，找 a 也是大海捞针

ECC: 基于椭圆曲线上的离散对数问题

哈希算法的碰撞

哈希函数接受任何信息, 都输出固定长度的值

哈希算法具有极强的扩散性, 计算速度快

哈希算法本质上是对信息的压缩, 碰撞在数学上是不可避免的

2005 年, 王小云团队公布了 MD5 的高效碰撞方法

对哈希算法的生日悖论攻击

人数	5	10	15	23	30	40	50
生日碰撞概率	2.7%	11.7%	25.3%	50.7%	70.6%	89.1%	97.0%

设函数 H 接收任意输入，均从 N 种可能结果中随机均匀地输出一个

给定 h, 找到一个输入 x, 使得 H(x) = h, 这种碰撞方式叫原像攻击, 其在概率上服从几何分布, 数学期望为 N

在 n 个样本中, 找到任意样本 a 和 b, 使 H(a) = H(b) 成立, 其概率为：

, 当 N 很大时，其数学期望近似

可以看出生日悖论攻击的计算成本远低于原像攻击

算法F、明文、密文、密钥：

对称加解密：F(明文,密钥)=密文, F(密文,密钥)=明文

非对称加解密：F(明文,公钥)=密文, F(密文,私钥)=明文

哈希函数：F(x)=x的哈希值

数字签名：F(公告的哈希值,私钥)=签名

验证数字签名：F(签名,公钥)=公告的哈希值

密码学要解决的问题

什么样的加密是安全的

如何证明你是你、我是我、ta 是 ta

如何在不安全的环境中通信

如何在对信息保密的情况下计算这些信息

如何在不泄露秘密的情况下证明我有秘密

密码学的新方向

量子密钥分发：基于不确定性原理, 在现有物理法则上实现安全的密钥交换

后量子密码学：为应对量子计算机的威胁, 可依靠量子计算机无法解决的数学难题，建立新的公钥算法基础

DNA 密码学：基于非冯诺依曼架构的 DNA 计算机, 利用分子结构实现超高信息存储密度和海量并行计算

混沌密码学：混沌系统具有天然的混淆/扩散, 且计算速度极快

Dale 的花园 ^_^

金山岭西线: 将军楼台观日出

金山岭东线: 从沙岭口到横沟楼

非常规上山

沙岭口 - 大金山楼

窑沟楼 - 东五眼楼

文字砖墙

横沟楼木门

非常规下山

无穷集合

一一对应

可数集与不可数集

希尔伯特旅馆

语言时钟

屈折语

分析语

黏着语

中文示例

复综语

神明是否存在 ？

有神论 Theism

无神论 Atheism

不可知论 Agnostism

可知论 Gnosticism

密码破译方法简述

神明是否存在？